II. ЧТО ЕСТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО?
Один из “вечных вопросов” философии — вопрос о соотношении веры и разума. Как соотносятся между собой доказанное и принятое на веру?
Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим доказательство одной из теорем евклидовой геометрии.
Теорема: две прямые, порознь параллельные третьей, па- раллельны между собой (рис. 5).
Прежде, чем приступить к доказательству, напомним, что геометрия Евклида основывается на аксиомах и постулатах, — истинах, принятых на веру (очевидных, не нуждающихся в доказательстве). Одна из таких аксиом (уже упомянутая) — целое больше своей части. Очень известен постулат о параллельных: прямая и точка, не лежащая на этой прямой, определяют плоскость; в этой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной и притом только одну (конечно, эти две аксиомы не исчерпывают число аксиом геометрии Евклида — их значительно больше).
Итак, дано: три прямые a, b, c; a параллельна c, b параллельна c.
Доказать: a параллельна b.
Что значит “прямые параллельны”? Это значит, что они не имеют ни одной общей точки, не пересекаются друг с другом.
Доказательство. Предположим, что а не параллельна b. Тогда они пересекаются в точке D, не лежащей на прямой c. (Почему? Потому что иначе a и b имели бы общие точки с прямой c, а в условии сказано, что они параллельны c, т. е. не имеют с ней общих точек.) Значит, через точку D проходят две прямые, параллельные c. Но это невозможно, потому что противоречит постулату о параллельных. Значит, исходное предположение неверно, ложно. Следовательно, верным является противоположное утверждение, а именно:
a параллельна b, что и требовалось доказать. В приведенном доказательстве следует обратить внимание на два момента:
• во-первых, оно существенно опирается на закон исключенного третьего (см. выше); доказательство проведено методом приведения к абсурду (reductio ad absurdumдоказательство от противного. В самом деле, существуют лишь две возможности: или прямые параллельны, или они пересекаются; если они параллельны, то не пересекаются, а если пересекаются, то не параллельны;
• во-вторых, это доказательство представляет собой сведение к постулату (в данном случае к постулату о парал- лельных).
Однако евклидова геометрия не является единственно возможной. В первой половине XIX в. русский математик Николай Иванович Лобачевский высказал смелую мысль, что постулат о параллельных не является логическим следствием остальных аксиом геометрии, а его принятие не является необходимым для построения геометрии (почти одновременно с ним к этим же идеям пришли венгр Я. Бойаи и немец К. Ф. Гаусс). В подтверждение своей мысли он построил новую геометрию, в которой постулат о параллельных заменен другим предложением, а именно, что через данную точку в данной плоскости можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающих данную. Идеи Лобачевского были в высшей степени новыми и неожиданными, однако новая (неевклидова) геометрия имела такую же стройную и законченную форму, как и геометрия Евклида. Одновременно с ее открытием возник вопрос: какая же геометрия имеет место в действительном материальном мире и какой геометрией следует пользоваться при решении проблем прикладного знания, например, физики и астрономии?
Доказано, что постулату о параллельных равносильны некоторые другие утверждения; например, теорема, утверждающая, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам. Это значит, что если выполняется постулат о параллельных, то сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам, и обратно, если сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам, то должна выполняться аксиома параллельности. Таким образом, кажется, что выбор между геометриями можно сделать, основываясь на данных человеческого опыта (измеряя внутренние углы треугольника). Однако, поскольку измерения нужны очень точные, а не может существовать абсолютно точных измерительных приборов, решить эту проблему путем измерений не удается!
Таким образом, и евклидова, и неевклидова геометрии способны описывать действительность (Малая математическая энциклопедия / Э. Фрид, И. Пастор, И. Рейман, П. Ревес, И. Ружа Будапешт, 1976. С. 340–346). Вполне аналогичное положение имеет место в теории множеств (напомним о том, что теория множеств — фундамент вообще всей современной математики): предположения об истинности или ложности т. н. континуум-гипотезы делят теорию бесконечных множеств на канторовскую и неканторовскую (Гарднер М. Математические новеллы. М., 1974. С. 136).
Итак, сделаем выводы: геометрия, образец предельно отчетливо и логично построенной науки, основана на системе аксиом, т. е. истин, которые принимаются без доказательства, на веру. То, что это необходимо, понимал еще Аристотель, который сказал очень ясно: “не всякая наука есть доказывающая наука, но знание … начал недоказуемо. И очевидно, что это необходимо так, ибо если необходимо знать предшествующее и то, из чего доказательство исходит, — останавливаются же когда-нибудь на чем-нибудь… это последнее необходимо недоказуемо. Следовательно, мы говорим так: есть не только наука, но также и некоторое начало науки…” [4, 124]. “Недоказуемые начала”, на которых строится геометрия, — это аксиомы (постулаты).
Если в число аксиом геометрии мы включаем постулат о параллельных, то получаем евклидову геометрию; а если (при том, что все другие постулаты сохранены) мы примем аксиому “в плоскости через точку А, не принадлежащую прямой m, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие m”, то получаем неевклидову геометрию (геометрию Бойаи—Лобачевского (гиперболическую геометрию)) (Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М., 1981. С. 240–245).
Не следует думать, что геометрия Евклида — “настоящая”, а геометрия Лобачевского — искусственная или ущербная. Обе геометрии равноценны. Аксиома параллельности играет в геометрии фундаментальную роль, определяя : евклидову и неевклидову геометрии (Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М., 1971. С. 222.). (Неевклидовы геометрии играют важную роль в современной науке: например, величайший физик ХХ в. Альберт Эйнштейн признавал, что его теория относительности основана, в частности, на геометрии Лобачевского.)
Уже было сказано о главном отличии средневековой христианской философии от античной: античная философия рационалистична, основана на разуме, средневековая — иррационалистична, основана на вере. Догматы христианства непостижимы, мистичны, если рассматривать их с точки зрения формальной логики.
Вернее было бы сказать, что они должны быть постигнуты не одним только разумом, но всем существом человека. Истина может быть пережита, но не может быть высказана.
С первого взгляда кажется, что вера и разум противоположны друг другу, что принятое на веру и доказанное суть противоположности. Однако это не совсем так. Разум служит мощным средством познания, хотя у него есть одно слабое место: он всегда исходит из посылок, которые сам не в состоянии обосновать. Для этого обоснования приходится опираться на интуицию, опыт, веру…
Итак, система знания строится на аксиомах (постулатах) — недоказуемых началах. Например, теоремы геометрии доказывают, исходя из аксиом. Доказываемое знание зависит от того, какую систему аксиом мы изберем. Выбор же системы аксиом зависит от веры — аксиомы недоказуемы. Внутри системы аксиом знание может быть доказанным и обоснованным. (Доказательство есть не что иное, как сведение к аксиомам, — это было показано на конкретном примере.) Однако возможны многие различные системы аксиом.
Очень важная характеристика культуры вообще — представление об истинности систем аксиом. Можно исходить из того, что только одна из них истинна, а все остальные — ложные, ошибочные, а можно полагать, что различные системы имеют равную ценность и могут сосуществовать (на этой точке зрения стоит постмодерн — см. подгл. 6. 1). Постмодернисты отвергают самый принцип центрации: постмодерн начинается там, где заканчивается целое, тотальное. В приверженности к принципу центрации постмодернисты видят причину многих бед современного мира, например, мировых войн. Если есть два могучих государства, которые придерживаются различных идеологий, и при этом каждое настаивает на том, что его идеология единственно правильная (а ведь правду надо отстаивать любой ценой!), то, конечно, между ними возникнет война. Совершенно иначе события будут развиваться в том случае, если каждая из противостоящих сторон будет относиться с пониманием и уважением не только к себе, но и к другой стороне.
Рассмотренная ситуация имеет прямое отношение к проблеме обоснования этики. Что должно лежать в основании этической системы — разум или воля? Мыслители античности склонялись к первому, отцы христианской церкви — ко второму.
Один из отцов церкви, Августин Аврелий (см. гл. 3) учил о том, что сущность духовной жизни человека — воля, а не разум. (Еще один представитель учения о приоритете свободной воли над разумом — Иоанн Дунс Скот (1265–1308).) она все же самостоятельно выбирает из тех смыслов, которые предлагает разум
Например, можно построить различные этические системы, потому что возможны различные — это авторитарная этика; хорошо то, что отвечает интересам человека — это гуманистическая этика; хорошо то, что предписывают десять заповедей — это христианская этика (ср. с идеями Э. Фромма, изложенными в книге “Человек для самого себя” [126]).
на иных аксиомах, возникает ситуация абсурда (непостижимое); подобная ситуация может возникнуть, например, на рубеже эпох (конфликты античной и средневековой (христианской и языческой) культур). Таково же противостояние барокко и классицизма, классицизма и романтизма, и, шире, науки и искусства, “технической” и “гуманитарной” культур в XX в. (наука основывается на запрещении противоречия, искусство (художественный образдополнительны.
“Умолкнут голоса человеческие и утихнут рассуждения человеческие; к непостижимому потянутся не как намеревающиеся постигнуть, но как собирающиеся приобщиться”. — пишет Аврелий Августин [8, 133], противопоставляя человеческое знание и Откровение.
Рационалистическая античная философия усматривала свою задачу в отыскании истины и овладении ею; христианская философия исходит из того, что истина открыта и дана в Откровении. Откровение, Слово Божие (прежде всего Библия) находится в центре средневековой христианской культуры. Один из отцов церкви, Тертуллиан, отвергая идею рационально-философского обоснования религиозного учения, полемически провозглашает: — верую ибо нелепо абсурд — это зачастую просто иное знание, знание, построенное на другой системе аксиом.
Для людей античности было привычно и потому считалось разумным почитать императора. Было непривычно и потому казалось неразумным почитать распятого сына плотника. Напротив, христиане считали неразумным почитать Нерона и Каракаллу и поклонялись автору Нагорной проповеди. За альтернативой “разум — абсурд” стоят иногда два разума, каждый из которых, с точки зрения другого, нелеп, абсурден. Это явственнее выступает у более крупного мыслителя, чем Тертуллиан, у апостола Павла: “Ибо слово о кресте для погибающих юродство есть, а для нас спасаемых — сила Божия. Ибо написано: “погублю мудрость мудрецов, и разум разумных отвергну”. Где мудрец? Где книжник? Где совопросник века сего?
Не обратил ли Бог мудрость мира сего в безумие? Ибо, когда мир своею мудростью не познал Бога в премудрости Божией, то благоугодно было Богу юродством проповеди спасти верующих. Ибо и Иудеи требуют чудес, и Еллины ищут мудрости; а мы проповедуем Христа распятого, для Иудеев соблазн, а для Еллинов безумие, для самих же призванных, Иудеев и Еллинов, Христа, Божию силу и Божию премудрость; потому что немудрое Божие премудрее человеков, и немощное Божие сильнее человеков. Посмотрите, братия, кто вы, призванные: не много из вас мудрых по плоти, не много сильных, не много благородных. Но Бог избрал немудрое мира, чтобы посрамить мудрых; и немощное мира избрал Бог, чтобы посрамить сильное; и незнатное мира и уничиженное и ничего не значащее избрал Бог, чтобы упразднить значащее…” (I Коринф., 1, 26–28). “Если кто из вас думает быть мудрым в веке сем, тот будь безумным, чтобы быть мудрым. Ибо мудрость мира сего есть безумие перед Господом” (I Коринф., 3, 18–19) (Померанц Г. Выход из транса. М., 1995. С. 439). Обратите внимание на сближение противоположностей (мудрость — безумие) в этом тексте.
Античный интеллект опирается на логику Аристотеля, которая запрещает противоречия. Напротив того, христианский строй мысли противоречив и диалектичен. Подразумевая важнейшую роль взаимосвязанных категорий в христианской культуре (см. Математическое приложение, I), В. Налимов пишет: “Христос придал динамизм западной культуре. Два, опять-таки дополняющих, начала оказались у истоков западной культуры: греческий поиск истины, часто тяготеющий к рациональному мышлению, и напряженный христианский мистицизм, обращенный к поиску правды” (Налимов В. В. Спонтанность сознания. М., 1989. С. 247). “Христианство, по природе своей, глубоко диалектично” (Налимов В. В. На грани третьего тысячелетия. М., 1994. С. 49).
Итак, основание европейской культуры составляют две первые, наиболее длительные эпохи ее истории — античность и средневековье. У истоков ее стоят, казалось бы, взаимно абсолютно несовместимые тексты — Библия и логические трактаты Аристотеля (наибольшего успеха в согласовании аристотелизма и христианской философии августиновского толка достиг Фома Аквинский, различавший истины разума и истины Божественного Откровения; согласно его учению, вера и разум не могут противоречить друг другу, — поскольку то и другое — от Бога. Таким образом, теология и философия не могут прийти к разным истинам, но методы у них различны: философия исходит из тварных вещей и восходит от них к Богу, теология же берет свое начало от Бога (Кунцман П., Буркард Ф. -П., Видман Ф. Философия: dtv-Atlas. М., 2002. С. 81) (см. гл. 3: Фома Аквинский. Сумма теологии).
друг к другу в отношении противоположности (Налимов В. В. Спонтанность сознания. М., 1989. С. 136). Логика же Аристотеля запрещает противоречия.
“Для рассудка истина есть противоречие, и это противоречие делается явным, лишь только истина получает словесную формулировку…Другими словами, истина есть антиномия, и не может не быть таковою. Противоречие! Оно всегда тайна души — тайна молитвы и любви. Чем ближе к Богу, тем отчетливее про- тиворечия” (Флоренский П. В. Столп и утверждение истины. М., 1914. С. 147, 158)11.
Средневековая христианская культура теоцентрична. Понятие Бога является центральным: “Мир средневековья — неподвижный, извечно данный мир иерархически координированных понятий, завершающихся высшим, всеохватывающим понятием Бога, ens realissimum (лат. — реальнейшая сущность)” [19, 164].
Бог непостижим и Он превыше всех противоречий. В работе “Непостижимое. Онтологическое введение в философию религий” (1939) С. Франк отмечает: “О непостижимом можно только высказать, что оно одновременно есть и В, и не-В, и, с другой стороны, что оно не есть ни В, ни не-В… непостижимое в собственном смысле не может быть уловлено ни в каком вообще суждении. Поскольку же нам все же необходимо, чтобы познание непостижимого совершалось в суждении (ибо иначе мыслить мы вообще не можем) — точнее говоря: чтобы оно отображалось в плане суждения, — это осуществимо только одним способом: в утверждении несказанного и непостижимого, и все же очевидного — единства утвердительного и отрицательного суждения, причем это единство, как уже было сказано, выходит за пределы как принципа “и то, и другое”, так и принципа “ни то, ни другое”… Так мы приходим к выводу, что мышление — именно в качестве трансцендентального мышления, осознающего условия самой рациональности, — хотя и никогда не достигает адекватно самого непостижимого, но улавливает его отображение в форме антиномистического познания” (Франк С. Л. Сочинения. М., 1990. С. 310–311)12. Таким образом, в средневековой христианской культуре актуализируется категория противоречия. (Вспомните вышеупомянутое Первое послание к Коринфянам апостола Павла, сближающего противоположности — безумие). “Уже Ветхий Завет осмыслил человека не как равную себе природную сущность, поддающуюся непротиворечивому описанию, но как пересечение противоречий между Богом и миром, которые развертываются в динамическом процессе “священной истории” [3, 79–80].
Примирение противоречий, противоположностей конечных вещей достигается в Боге, поскольку его атрибутом является бесконечность. Это одна из центральных идей выдающегося мыслителя XV в. Николая Кузанского (1401–1464). Для пояснения ее философ пользуется математическими аналогиями (см. Математическое приложение, I).
бесконечность. В бесконечности Бога могут быть сняты все противоположности (противоречия) конечных вещей. В Боге всякое бытие свернуто (complicatio), в мире же оно развернуто () во множественность и противоречивость. (Кунцман П., Буркард Ф. -П., Видман Ф. Философия: dtv-Atlas. М., 2002. С. 91).
“По отрицательной теологии Бог не есть ни Отец, ни Сын, ни Святой Дух, Он только бесконечность” (Об ученом незнании, I, 87) (Кузанский Н. Сочинения: В 2 т. М., 1979). Такое понимание Бога имеет одним из своих источников неоплатонизм.
Философ указывает, приводя математические примеры, на то, что в Боге (в бесконечности) достигается совпадение противоположностей (). В трактате “О видении Бога” он называет десятый раздел таким образом: “О том, что Бог видим по ту сторону совпадения противоположностей и Его видение есть бытие”. Приведем фрагмент тринадцатого раздела: “О том, что Бог предстает абсолютной бесконечностью”.
“... Нельзя приблизиться к Тебе, Богу и бесконечности, не погрузившись разумом в незнание, то есть без знания того, что мы Тебя не знаем. Как разуму охватить Тебя, бесконечного?..
Никакому рассудку этого не охватить: он наталкивается на противоречие; ведь, утверждая, что определенное пределом есть предел, я допускаю, что тьма есть свет, незнание есть знание и невозможное есть необходимое. Или еще: допуская, что есть предел конечного и определенного, мы с необходимостью допускаем бесконечное, то есть последний предел, то есть бесконечный предел; но не допустить конечность сущего мы не можем, тем самым не можем не допустить бесконечного и, значит, допускаем совпадение противоречивых [положений], выше которых располагается бесконечное.
Впрочем, такое совпадение есть противоречие без противоречия, как и предел не имеет предела: Ты, Господи, говоришь мне, что, как инаковость пребывает в единстве, раз это единство, без инаковости, так ” –61). (Курсив мой. — А. П.)
“…Бог есть величина абсолютно величайшая и равным образом наименьшая, то есть не что иное, как величина бесконечная и неделимая, которая есть всякой конечной величины истина и мера. И как она могла бы быть больше чего-нибудь, если она является настолько же наибольшей, как и наименьшей? Или как — меньше чего-нибудь, если она настолько же наименьшая, насколько и наибольшая? Или каким образом она не есть равенство бытия для всякой величины, если она действительно есть все то, что может быть? А раз так, то она может быть и равенством бытия” (“О возможности-бытии” см. в кн.: Кузанский Н. Сочинения: В 2 т. М., 1980. Т. 2. С. 142)13.
Поиски предпосылок познания привели Августина Аврелия к открытию того, что знание основано на внутренней самодостоверности сознания. Стремясь преодолеть скепсис, он наталкивается на ход мысли, приблизительно повторенный впоследствии Декартом: я могу заблуждаться относительно вещей вне меня; но сомневаясь в них, я осознаю себя самого как сомневающегося. То, что я есть, достоверно заложено во всяком суждении, сомнении, заблуждении: “Ведь, заблуждаясь, я есть (si enim fallor, sum)”.
Так путь к основам достоверности ведет во внутреннюю сферу сознания (а не к внешнему миру, не к объективно существующему, как полагали античные мыслители, — вспомним о том, что “античная культура основана на принципе объективизма” (см. гл. 2. Лосев А. Ф. Двенадцать тезисов об античной культуре).
“Не выходи из себя, вернись в себя самого; истина живет во внутреннем человеке (noli foras ire, in te ipsum redi; in interiore homine habitat veritas)”. Взыскующий истины человек погружается все глубже внутрь себя, одновременно восходя к Богу в любви. Он движется от чувственного внешнего мира (foris) к внутреннему миру (intus) духа, а оттуда — к средоточию сердца (intimum cordis): к Богу как первопричине самой истины (Кунцман П., Буркард Ф. -П., Видман Ф. Философия: dtv-Atlas. М., 2002. С. 69).
Человек — образ Бога. Самопознание есть тем самым познание Бога, а познание Бога — путь к самому себе.
“В “Исповеди” Августина “открытие я” совпадает с открытием Бога: “Я не был бы, я совершенно не мог бы быть, если бы Ты не присутствовал во мне!” (Кон И. С. Открытие “Я”. М., 1978. С. 171).
Таким образом христианская мысль воплощает завет Сократа, который считал познание объективного мира нечестивым и бесполезным делом, а самопознание — необходимым. Известно, что изречение, начертанное на стене знаменитого дельфийского храма Аполлона — “Познай себя” — предопределило основное направление его поисков истины.